\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{布拉菲点阵 Bravais Lattice}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{screenshot001}
		\caption{布拉菲点阵示意图}
		\label{fig:screenshot001}
	\end{figure}

	\footnote{本文是Aschroft, et al, Solid State Physics的学习笔记。参考：W站词条 Bravais Lattice} 想象我们有一个粒子，现在我们在三个（不共面的）方向上间隔一定距离不断复制并平移这个粒子，
	我们就可以得到一个有规律的空间点阵。这种点阵就被称为布拉菲点阵（Bravais Lattice），每个粒子所处的位置称为格点 (Lattice Point)。
	
	也就是说，布拉菲点阵中，我们有：
	\begin{equation}
		\text{$\bvec R$处是一个格点} \Leftrightarrow \bvec R = n_1 \bvec a_1 + n_2 \bvec a_2 +n_3 \bvec a_3, \text{$n_1, n_2, n_3$是整数}
	\end{equation}
	其中 $\bvec a_1, \bvec a_2, \bvec a_3$表示了复制并平移粒子的三个方向与距离，$n_1, n_2, n_3$是整数。
	
	由于理想的布拉菲点阵是无穷大的，因此原点的选取是相对任意的。
	$\bvec a_1, \bvec a_2, \bvec a_3$的选取是相对任意的，他们不一定等长，也不一定垂直。
	根据选取方法的不同，构建出的布拉菲点阵的具体类型也不同。
	不过据说可以证明，布拉菲点阵的具体类型只有7大类共14子类。
	图 \ref{fig:screenshot001} 是简单立方（SC）的示意图。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.25 \linewidth]{charge}
		\caption{由于布拉菲点阵的周期性，对于局域物理量$F$应有$F(\bvec r + \bvec R) = F(\bvec r) $}
		\label{fig:charge}
	\end{figure}
	
	由于布拉菲点阵中粒子的排布是高度周期性的，因此（由布拉菲点阵代表的）系统的各类局域物理量，例如局部电荷密度、乃至电子波函数等，也应该是高度周期性的。
	这也意味着，每一个格点的化学氛围应该相同。
	\begin{equation}
		F \text{是系统的一种局域物理量} \Rightarrow F(\bvec r + \bvec R) = F(\bvec r) \qquad \bvec R = n_1 \bvec a_1 + n_2 \bvec a_2 +n_3 \bvec a_3
	\end{equation}
	其中$\bvec r$代表空间位置。固体物理大量使用了这个结论以构建周期性边界条件。
	
	\newpage
	\section{带基元的布拉菲点阵 Bravais Lattice with Basis}
	
	\begin{figure} [h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{"bravaisBasis.png"}
		\caption{带基元的布拉菲点阵示意图}
		\label{fig:bravaisbasis}
	\end{figure}
	
	
	以上，我们复制并平移的都是一个粒子。然而，我们还可以复制并平移“一组粒子”，这样的“一组粒子”称为一个基元（basis）。
	换句话说，现在每一个格点上可以有多个粒子。
	要描述每个粒子的位置，我们还得多引入一个参数。
	\begin{equation}
	\text{$\bvec r$处是一个粒子} \Leftrightarrow \bvec r = n_1 \bvec a_1 + n_2 \bvec a_2 +n_3 \bvec a_3 + \bvec d_i, \text{$n_1, n_2, n_3$是整数}
	\end{equation}	
	其中$\bvec d_i$代表基元中各个粒子的相对位移(displacement)，下标$i=1,2,3,...$代表一个基元中的各个粒子。
	这样，我们能得到的结构就更为丰富多彩。
	如图 \ref{fig:bravaisbasis}所示，
	尽管图 \ref{fig:bravaisbasis}复制并平移的模式和图 \ref{fig:screenshot001}是一样的，
	但是由于图 \ref{fig:bravaisbasis}中的基元包括两个原子，因此最终得到的结构有点像体心立方（BCC）。
	现实中，CsCl和NiTi（NiTi是经典的记忆合金）的晶体结构类似如此。
	
	\section{原胞 Primitive Cell}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.2 \linewidth]{pc}
		\caption{原胞示意图 a. 图\ref{fig:screenshot001}, b. 图\ref{fig:bravaisbasis}}
		\label{fig:pc}
	\end{figure}
	
	另一方面，布拉菲点阵还可以看作由一个个原胞（Primitive Cell）堆积而来。
	一个原胞可看作是由$\bvec a_1, \bvec a_2, \bvec a_3$围成的体积：
	\begin{equation}
		V_0 = \{ \bvec r | \bvec r = x_1 \bvec a_1 + x_2 \bvec a_2 +x_3 \bvec a_3 , x_1, x_2, x_3 \in [0,1]\}
	\end{equation}
	单个原胞的体积自然为
	\begin{equation}
		v_0 = \abs{\bvec a_1 \cdot (\bvec a_2 \times \bvec a_3)}
	\end{equation}
	原胞总能不重不漏地堆积成布拉菲晶格；并且每一个原胞只含一个基元。
	%然而，对于同一个布拉菲晶格，原胞的选取却是多样的。两个看似完全不同的原胞，也许能生成同样的布拉菲点阵。

	\section{准晶 Quasi Crystal}
	在过去，人们以为布拉菲点阵已经充分描述了带有周期性的晶体结构。
	直到后来，人们发现了一些更有趣的晶体结构，例如准晶。
	准晶具有周期性结构，但不是通常意义上的周期性，可以参考  https://m.guokr.com/article/69740/ 等
	（顺带一提，“单个非周期性砖块”已经在前几年被发现了）
\end{document}

